「編者按」“中國古代數學的貢獻”一文，作者係周向宇院士。在研究專(zhuan) 業(ye) 數學之餘(yu) ，作者將學習(xi) 和研究中國古代數學的心得體(ti) 會(hui) 與(yu) 研究成果整理成文，刊發於(yu) 《數學學報，中文版》2022年第4期。該文闡釋與(yu) 揭示了中國古代數學對華夏文明的貢獻，對國學、語言、文化的影響，以及對現代數學的影響與(yu) 貢獻。“數學大院”公眾(zhong) 號將陸續以推文呈現，讓讀者從(cong) 多方麵領略中國古代數學的成就與(yu) 貢獻。

愚公回答的前半部分，定義(yi) 了自然數及其加法，也認識到了自然數的無窮性。我們(men) 來構建自然數的愚公子孫模型。愚公子孫的輩分集與(yu) 自然數集構成了一一對應(對輩分集可自然引進加法與(yu) 減法)，並且這個(ge) 對應保持代數運算。這裏的輩分集是愚公子孫的等價(jia) 類所構成的集合，愚公的兩(liang) 個(ge) 後代稱為(wei) 等價(jia) ，當且僅(jin) 當這兩(liang) 個(ge) 後代是同一輩分。假設愚公本人對應於(yu) ，其子輩對應於(yu) ，其孫輩(即子之子輩)對應於(yu)

依次類推，可以定義(yi) 自然數的後繼數：設愚公某後輩對應於(yu) ，則該後輩的子輩對應於(yu) 。往後數輩分得加法，往前溯輩分得減法。

這就是結合律。

(2)愚公家族血脈流淌，即愚公家族的任一輩(代)均有子輩。

這個(ge) 模型反映了自然數作為(wei) 基數與(yu) 序數的特點。這個(ge) 模型蘊含歸納公理，反映了數學歸納法原理，一個(ge) 關(guan) 於(yu) 愚公家族的命題對世世代代(所有輩分)都成立，隻需：1、命題對愚公成立；2、若命題對愚公家族某代成立，則對其子輩也成立。比如愚公家族世世代代愛勞動，隻需知道：1、愚公愛勞動；2、若愚公家族某一輩愛勞動，則其子輩也愛勞動。

愚公說：“子子孫孫，無窮匱也，而山不加增，何苦而不平？”假設太行、王屋二山的土石方量為(wei) ，假設愚公家族每一代能挖的土石方量至少為(wei) 。非常大，但山不加增，所以是一個(ge) 常數。可能非常小，但它總大於(yu) ，一代人能挖，代人就能挖。因為(wei) 子子孫孫無窮匱，是變數，可以趨於(yu) 無窮大。“何苦而不平”是說，總可以找到自然數，使得

有趣的是，愚公子孫模型還可以擴展為(wei) 祖孫模型。愚公祖孫的輩分集與(yu) 整數集構成了一一對應，並且保持代數運算；負數是有意義(yi) 的，小的數可以減大的數。如何定義(yi) 負整數和減法呢？愚公對應於(yu) ，他的父輩對應於(yu) ，他的祖父(父輩之父輩)則對應於(yu) 。如果愚公的某祖輩對應於(yu) ，則該祖輩之父輩對應於(yu) ，這樣就可以定義(yi) 減法。中國古代數學很早就認識並使用負數，而西方長期不承認負數、認為(wei) 小數不可以減大數。愚公的孫子的曾祖是愚公之父，對應於(yu) ，這就是小數減大數，有鮮活的意義(yi) 。愚公的曾祖的孫子也是愚公之父，對應於(yu) ，因此交換律仍然成立。結合律的證明同理。

愚公的堅持不懈感天動地，感動上天。愚公受上天助力，移山成功。小時候讀到這時，覺得這是不是迷信。後來做數學，思考數學問題，費時長久，還是未能攻破，但依然久久為(wei) 功、堅持不懈，到某時不知何故卻豁然開朗，靈感出現，終攻破難題，真是天助也。常言道“天道酬勤”也許就是在詮釋這種現象吧。

我認為(wei) 愚公開啟了計量克難學。記愚公家族到第代的克難量為(wei) ，則有愚公克難公式

例子1：學前兒(er) 童麵對中學、大學學習(xi) 內(nei) 容，猶如愚公碰到大山一樣，困難當然很大。可是隻要學生在小學、初中、高中各個(ge) 階段，每學年、每學期都按部就班完成學習(xi) 任務，堅持不懈，就能完成學業(ye) 。

例子2：實現GDP大幅增長的長期宏偉(wei) 目標，看起來困難很大，但隻要我們(men) 不怕困難，迎難而上，按部就班完成每年計劃、五年規劃，堅持不懈，就能實現目標。

愚公克難公式是線性的。愚公的感天動地，可以認為(wei) 他得到非線性量的幫助， 所以這時有

這裏是非線性量或突變量。這反映出量變到質變的道理、突變發生現象。

有時困難量不是常量，這時情況複雜。記困難函數為(wei) 麵臨(lin) 的困難量、克難函數為(wei) 克服困難的力量，它們(men) 涉及的變量、因素多。戰略上藐視困難：相當於(yu) 說，困難函數相比於(yu) 克難函數是無窮小量，可寫(xie) 成，即困難函數與(yu) 克難函數之比趨於(yu) 零。為(wei) 了做到這，就需在戰術上重視困難，比如采取措施使困難函數成有界函數，讓克難函數成單增無界函數。

[1] 毛澤東(dong) , 改造我們(men) 的學習(xi) , 毛澤東(dong) 選集第三卷, 北京: 人民出版社, 1991:797.

[2] Cajori F., A History of Mathematical Notations, Dover Publications, Inc. New York, 1993:70.

[3] Gowers T. (Ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.

[4] 吳文俊, 對中國傳(chuan) 統數學的再認識, 百科知識, 1980年第7--8期.

[5] 程貞一, 聞人軍(jun) , 周髀算經譯注, 上海: 上海古籍出版社, 2012.

[6] 卡爾·博耶(Carl B. Boyer)著, 尤塔·梅茲(zi) 巴赫(Uta C. Merzbach)修訂, 數學史(修訂版), 中央編譯出版社, 2012.

[7] 吳文俊主編, 世界著名數學家傳(chuan) 記, 花拉子米, 北京: 科學出版社, 1995.

[8] 李文林, 數學史概覽, 北京: 高等教育出版社, 2000.

[9] 中國大百科全書(shu) ,數學卷, 數學編輯委員會(hui) 主任: 華羅庚, 蘇步青, 北京: 中國大百科全書(shu) 出版社, 1992.

[10] 周易、老子、墨子、列子、莊子、孟子、荀子、管子、韓非子、左傳(chuan) 、淮南子、貞觀政要, 中華經典名著全本全注全譯叢(cong) 書(shu) , 北京: 中華書(shu) 局, 2010--2019.