2013年4月17號，一篇論文投稿到數學領域最富盛名的期刊之一《數學年刊》。論文的作者是一位來自新罕布什爾大學的在該領域名不經傳(chuan) 的講師，年逾50的學者張益唐。這篇論文聲稱朝著解決(jue) 數學史上最古老的問題—孿生素數問題前進了一大步。

那些著名數學期刊的編輯早已習(xi) 慣麵對那些不知名的作者誇大其詞的論斷。不過這篇論文卻與(yu) 眾(zhong) 不同，因為(wei) 這顯然是一份深思熟慮的證明：語言清晰嚴(yan) 密並且使用了該問題最前沿的方法。數學年刊的編輯決(jue) 定對其做有限處理。

僅(jin) 僅(jin) 三周時間，相對於(yu) 數學期刊通常的審稿節奏也就是一眨眼的功夫，張就收到了他的論文的審稿意見。其中一個(ge) 審稿人寫(xie) 到：“主要結果都是一流的”。論文的作者證明了“關(guan) 於(yu) 素數分布的裏程碑式的定理”。

一項巨大進展被一個(ge) 之前默默無聞的研究者發現了，這個(ge) 傳(chuan) 聞在數學家裏迅速傳(chuan) 播開來。張益唐在1992獲得博士學位之後，其學術才能就一直被人忽視。他找不到學術界的工作，當過幾年會(hui) 計，甚至在Subway幹過。

蒙特利爾大學的數論專(zhuan) 家Andrew Granville教授說：“事實上，根本沒人認識他。但突然之間，他就證明了數論史上重要的結果之一”。

哈佛大學的數學家們(men) 在5月13號急忙地為(wei) 張安排了報告會(hui) ，讓他在眾(zhong) 多的專(zhuan) 家麵前展示自己的成果。隨著更多的細節浮出水麵，顯然張的成果並不是通過一個(ge) 全新的方法得到的，而是堅持不懈地運用已有的方法。Granville提到“這個(ge) 領域的專(zhuan) 家早就已經嚐試過使用這種方法”，“雖然他並不為(wei) 人所知，但是那些專(zhuan) 家都失敗了，他卻成功了。”

孿生素數對問題

素數就是因數除了1就是他們(men) 本身的自然數。它們(men) 如同數學的原子一樣，從(cong) 歐幾裏得在2000年前證明了存在無窮多個(ge) 開始，就讓無數數學家們(men) 為(wei) 之傾(qing) 倒。

因為(wei) 素數和乘法相關(guan) ，理解他們(men) 和加法相關(guan) 的性質就變得非常困難。一些數學上最古老的未解之謎就和素數的加法運算相關(guan) ，其中之一就是孿生素數猜想：存在無限多組之差為(wei) 2的素數對。另一個(ge) 則是哥德巴赫猜想：所有的偶數都可以表示為(wei) 兩(liang) 個(ge) 素數之和（非常湊巧的是，在張在哈佛做報告的時候，後一個(ge) 猜想的簡化版本被巴黎高等師範學院的Harald Helfgott發布在網上的論文給證明了）。

在自然數列的起始部分存在著大量的素數，但是隨著數字變大，他們(men) 變得原來越稀少。比如在前10個(ge) 自然數中40%是素數：2，3，5和7，但是在所有的10位數中僅(jin) 有4%是素數。在過去的一個(ge) 世紀裏，數學家們(men) 已經掌握了平均意義(yi) 上素數減少的規律：在大數中，連續素數之間的間隔大約是位數的2.3倍。比如在100位的數中，兩(liang) 個(ge) 素數的平均間隔大約是230。

但這隻是就平均而言的結果。素數經常比平均預計的結果更加緊密或稀疏的出現。特別是孿生素數經常會(hui) 突然出現，比如：3和5，11和13，他們(men) 的差僅(jin) 為(wei) 2。而在大數中，孿生素數似乎從(cong) 沒有徹底消失（目前發現的最大的孿生素數是3756801695685×2^666669-1和3756801695685×2^666669 + 1）。

數百年來，數學家一直假設存在無窮多對孿生素數。1849年，法國數學家Alphonse de Polignac擴展了這個(ge) 猜想，提出不僅(jin) 僅(jin) 是2，對於(yu) 任意有限的間隔都存在著無窮多組素數對。

從(cong) 那時開始，即使不知道他們(men) 有什麽(me) 用，這些猜想的內(nei) 在吸引力就給予它們(men) 數學聖杯的地位。然而盡管有很多人嚐試去證明，數學家們(men) 還是不能排除素數的間隔會(hui) 一直增長並最終超過一個(ge) 特定上限的可能。

現在張攻破了這道障礙。他的論文顯示對於(yu) 某一個(ge) 小於(yu) 7千萬(wan) 的數字N，存在無窮多組之差為(wei) N的素數對。無論你在那些龐大素數的沙漠裏走多久，也不論這些素數變得多麽(me) 稀疏，你總會(hui) 不停的發現之差小於(yu) 7千萬(wan) 的素數對。

聖荷西州立大學的數論學者Daniel Goldston說：這個(ge) 結果“令人震驚”，“這是之前以為(wei) 可能永遠無法解決(jue) 的問題之一。”

素數篩

張的證明源於(yu) 8年前的一篇論文。這篇論文被數論專(zhuan) 家們(men) 稱為(wei) GPY，由文章的三位作者姓名Goldston, János Pintz (Alfréd Rényi Institute of Mathematics in Budapest) 的首字母命名。雖然GPY非常接近最終的結論，但最後還是無法證明在有限的間隔內(nei) 存在無窮多素數對。

這篇論文的結論證明，總是存在一些素數對，他們(men) 的間隔小於(yu) 平均的間距預計。更確切地說，GPY證明對於(yu) 任意選定的一個(ge) 平均的間距的部分，無論其多麽(me) 小，隻要沿著自然數列走足夠遠，其中總會(hui) 存在一對素數。但是研究者不能證明這些間隔總是小於(yu) 某一個(ge) 特定的有限值。

GPY使用了一種被稱為(wei) “篩法”的方法去過濾出那些間隔小於(yu) 平均數的素數對。自2000年前埃拉托色尼篩成為(wei) 尋找素數的方法開始，篩法一直被用在素數的研究當中。

使用埃拉托色尼篩來尋找100以內(nei) 的素數，我們(men) 從(cong) 2開始，劃掉100以內(nei) 能被2整出的數。接著來到3，劃掉所有能被3整除的數。4已經被劃掉，所以你直接跳到5，劃去所有能被5整出的數，以此類推。最後剩下的數就是素數。

埃拉托色尼篩在識別素數上表現完美，但是對於(yu) 解決(jue) 理論問題卻過於(yu) 笨重低效。在過去的一個(ge) 世紀中，針對這些問題，數論專(zhuan) 家們(men) 發展出了一整套方法來提供近似的答案。

Goldston提到：“埃拉托色尼篩的效果實在是太好了”，“現代篩法放棄了完美的過濾”。

GPY設計了一種篩可以過濾出一連串的數，這些數中可能有潛在的素數對。為(wei) 了從(cong) 這些數中發現事實上的素數對，研究者們(men) 將他們(men) 的“篩”和一個(ge) 函數結合起來，這個(ge) 函數的有效性取決(jue) 於(yu) 一個(ge) 被稱為(wei) 分布層級的係數，它用來衡量素數會(hui) 以多快的速度開始顯現出某些規律性。

這個(ge) 分布層級係數被認為(wei) 至少為(wei) 1/2。這正好是GPY所采納的係數，但是它無法證明在一個(ge) 確定的間隔之內(nei) 總是存在滿足條件的素數對。GPY方法所使用的篩雖然可以證明這個(ge) 結論，但是需要證明這個(ge) 係數可以大於(yu) 1/2。任何超過1/2的數都可以。他們(men) 認為(wei) ：GPY定理“距離解決(jue) 這個(ge) 問題看起來隻是一根頭發絲(si) 寬的距離”。

但是隨著更多的研究者試著解決(jue) 這個(ge) 困難，這個(ge) 頭發變得越來越粗。在上世紀80年代，3個(ge) 研究者Enrico Bombieri，John Friedlander和Henryk Iwaniec通過調整分布層級係數的定義(yi) ，將其調整到4/7。在05年GPY論文發表之後，研究者們(men) 努力地試著將這個(ge) 調整定義(yi) 後的分布層級係數整合進GPY的框架之內(nei) ，但是都無功而返。

Granville評論到：“這個(ge) 領域有名的專(zhuan) 家嚐試過並且都失敗了，”“我個(ge) 人認為(wei) 沒有人能在短時間內(nei) 做到。”

跨越溝壑

與(yu) 此同時，張在孤軍(jun) 奮戰，試圖在GPY定理和孿生素數定理之間架設橋梁。作為(wei) 一個(ge) 中國移民，他自從(cong) 普渡大學獲得博士學位以來，都對數論充滿興(xing) 趣，即使這不是他博士論文的題目。在那些困難的歲月，他無法獲得一份學術界的工作，但他仍然繼續緊跟該領域的進展。

他說：“職業(ye) 生涯中有很多機會(hui) ，但重要的是要保持思考”。張讀到了GPY的論文，並且讀到了那句關(guan) 於(yu) GPY定理和孿生素數猜想僅(jin) 有頭發絲(si) 寬的距離的話。他說：“那句話給了我非常深刻的印象”。沒有和該領域的專(zhuan) 家進行交流，張開始獨自思考這個(ge) 問題。可是經過了3年，他卻沒有一點兒(er) 進展。他說：“我感到非常的疲憊”。

為(wei) 了放鬆一下，上個(ge) 夏天張拜訪了他在科羅拉多州的朋友。6月3日，就在他朋友的後院等待啟程去演唱會(hui) 的半小時時間裏，他突然想到了問題的答案。他說：“我突然就意識到這樣可以行得通。”

張的想法不是直接使用GPY篩而是對其進行修改。修改後的篩，不會(hui) 對每一個(ge) 數都進行過濾，而僅(jin) 僅(jin) 是那些沒有大的素因子的數。

Goldston說：“他的篩並不是那麽(me) 的完善因為(wei) 你並沒有使用可以過濾出的所有東(dong) 西。但是，雖然過濾不是那麽(me) 有效，這卻給了他靈活性，讓結論能夠成立。”Goldston認為(wei) 新發明的篩使得張證明存在無窮多組之差不超過7千萬(wan) 的素數對，但使用他的方法證明孿生素數猜想卻可能性很小。他說：即使在分布層級係數最強的假設條件下，通過GPY方法所能得到的最好的結果也是存在無窮多之差不超過16的素數對。

但Granville卻認為(wei) 數學家們(men) 不能提前排除使用這些方法來最終證明孿生素數猜想的可能性。他說：“這次的發現是革命性的，而且有時在新的證明被發現後，之前被認為(wei) 非常困難的問題卻僅(jin) 僅(jin) 是一個(ge) 很小的擴展。現在開始，我們(men) 需要研究這篇論文，看能從(cong) 中發現些什麽(me) 。”

張花費了數月的時間來完善所有的細節，最終的論文是清晰闡述的典範。Granville評價(jia) 道：“他顧及到了所有細節，讓人無從(cong) 質疑。文章沒有含糊不清的地方。”在張收到了審稿意見以後，事件被飛速公布出來。關(guan) 於(yu) 他工作的演講邀請紛至遝來。Granville說“我認為(wei) 大家對於(yu) 一個(ge) 默默無聞的人能做到這一點感到相當的興(xing) 奮”。對於(yu) 自我評價(jia) 很害羞的張來說，成為(wei) 聚光燈的焦點有點兒(er) 不舒服。他說：“我不禁自問，‘為(wei) 什麽(me) 一切來的這麽(me) 之快’？有時這令人很困惑”。

他在哈佛的演講以其清晰性被出席者所稱道，此時張益唐並不害羞。他說：“當我做演講並且專(zhuan) 注於(yu) 數學時，我就把害羞丟(diu) 在腦後了”。張說他對於(yu) 之前相對默默無聞的學術生涯一點兒(er) 也沒感覺怨恨。他說：“我的心態很平和。我不是特別在乎錢，或者榮譽。我渴望安靜和一個(ge) 人工作。”

與(yu) 此同時，張已經開始了他的下一個(ge) 計劃，他拒絕更加詳細的透露。他說：“希望能取得不錯的結果。”

原文：https://simonsfoundation.org/features/science-news/unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/

2013年5月19日

（劉剛翻譯）