數學內(nei) 外

Inside and Outside of Mathematics

田 剛

大家好！今天的講座是今年米兰体育官方网站入口主辦的第一個(ge) 麵向公眾(zhong) 的在線講座。今天是母親(qin) 節，在此也向天下所有偉(wei) 大的母親(qin) 致以節日的祝福！我的母親(qin) 也是一位數學家，她是我數學的第一位啟蒙老師，我講座的題目是數學內(nei) 外，這個(ge) 題目的靈感也是來自於(yu) 我的母親(qin) 。在很小的時候她告訴我，數學可以有很多角度去認識它。我們(men) 知道在數學專(zhuan) 業(ye) 研究領域之外的人，與(yu) 進入到數學研究領域的人，所獲得的體(ti) 會(hui) 和感受是不一樣的。下麵讓我們(men) 從(cong) 各個(ge) 不同的角度一起了解數學內(nei) 外的奧秘。

在我國古代，數學叫作算術，是六藝之一。六藝指六種技能：禮、樂(le) 、射、禦、書(shu) 、數，其中的“數”就是指算術，也就是數學。六藝源自於(yu) 中國周朝的貴族教育體(ti) 係，周王官學要求學生掌握的六種基本才能。有點像我們(men) 今天高考一樣，即使是文科考生，也要考數學，學數學的也需考語文。

在我國古代，數學叫作算術

大家知道古希臘是西方文明的源頭之一，是西方文明最重要和直接的淵源。西方有記載的文學、科技、藝術大都是從(cong) 古代希臘開始的。當然古希臘不是一個(ge) 國家的概念，而是一個(ge) 地區的稱謂。數學在古希臘語有學習(xi) 、學問、科學之意，被認為(wei) 是“學問的基礎”。

數學在古希臘語有學習(xi) 、學問、科學之意

古希臘數學家普洛克拉斯說：“哪裏有數學，哪裏就有美。”數字不僅(jin) 可以展現美，它還可以量化世間萬(wan) 物，讓事物變得更有趣。我國著名數學家華羅庚先生說過：“就數學本身而言，是壯麗(li) 多彩、千姿百態、引人入勝的…認為(wei) 數學枯燥乏味的人，隻是看到了數學的嚴(yan) 謹性，而沒有體(ti) 會(hui) 出數學的內(nei) 在美！”數學美是自然美的客觀反映，是科學美（內(nei) 在美）的核心，也體(ti) 現在藝術等美中。

比如，自然界中的花朵。大家春天都喜歡踏青賞花，在花朵上也能找到數學的影子。比如三角梅有3片花瓣，銀蓮花有5片花瓣。圖片上這朵向日葵，呈現出斐波那契數列，斐波那契數列是從(cong) 第3項開始，每一項都等於(yu) 前兩(liang) 項之和。這朵向日葵有21個(ge) 深藍色螺旋和13個(ge) 寶石綠螺旋。13和21是斐波那契數列中的相鄰數字。仿佛花朵也有“數學頭腦”。

建築中也有數學。下圖是謝克洛弗拉清真寺房頂，建於(yu) 17世紀的伊朗伊斯法韓，使用了雙螺旋圖案。它建於(yu) 1602至1619年阿巴斯一世統治時期，建造工程曆時長達17年，用於(yu) 獻給阿巴斯的嶽父Sheikh Lotfollah，這個(ge) 清真寺也用嶽父的名字命名，Sheikh Lotfollah是一位受人尊敬的黎巴嫩伊斯蘭(lan) 教學者，應邀來到伊斯法罕監管國王的清真寺和神學院。從(cong) 高高的窗格射進來的光線會(hui) 隨著陽光的角度不斷變化，甚至穹頂上用到的白色瓷磚據說也會(hui) 在一天裏由白色變成粉紅，真是非常奇妙。另外，為(wei) 了保證信徒朝拜的方向對著聖地麥加，設計清真寺時需要經過嚴(yan) 密的數學計算。

建於(yu) 17世紀的伊朗伊斯法韓謝科洛夫拉清真寺的房頂

新石器時代的陶罐

差不多同期，在公元前3000年，埃及人就有方形棱錐的錐台體(ti) 積的正確公式。大家熟知的埃及金字塔就是對稱、比例精確的三角形。金字塔是由無數裁切準確的巨大石塊組成的帝王陵墓，當時的人們(men) 把金字塔有條不紊地安置在規矩的空間中，呈現出高度秩序。

古巴比倫(lun) 與(yu) 中國、古埃及、古印度一並稱為(wei) “四大文明古國”。圖片中所示的是古巴比倫(lun) 伊什塔爾城門。這是德國考古學家在發現巴比倫(lun) 古城時發掘，之後帶回了柏林的博物館。

德國佩加蒙博物館伊什塔爾城門

古巴比倫(lun) 時期的數學很發達，計數法采用的是十進位和六十進位法。釘頭型代表1，尖頭型代表10，通過加法這兩(liang) 個(ge) 符號可以表示直到59，比如32由3個(ge) 尖頭型和2個(ge) 釘頭型構成。從(cong) 60開始使用符號組，記錄60的符號也是由之前的符號構成，比如數字145由2個(ge) 60構成120，再加25個(ge) 單位。六十進位法應用於(yu) 計算周天的度數和計時，至今為(wei) 全世界所沿襲。在代數領域，古巴比倫(lun) 人已經可解含有三個(ge) 未知數的方程式。另外，古巴比倫(lun) 人還有一個(ge) 三角函數表。

古巴比倫(lun) 計數法

數學經過初期的發展後，不再局限於(yu) 田間地頭、修築工程等與(yu) 農(nong) 業(ye) 生產(chan) 等息息相關(guan) 的技術，而是逐漸形成了一門研究數量、結構、變化、空間等概念的學科。數學形成學科之後，越發突顯這樣的幾個(ge) 特點：數學的指向是現象背後的客觀規律，它是抽象的，嚴(yan) 密的邏輯是其基礎。數學追求的是抽象美和終極真理。它邏輯性強並以興(xing) 趣和好奇心為(wei) 首要驅動。數學非常純粹，它的正確與(yu) 否不因人的意誌而改變。

世界上比較早地用嚴(yan) 密邏輯探討世界本源的發端之一是意大利半島的古希臘。柏拉圖學園門口掛著“不懂幾何者，不得入內(nei) 。”當時的幾何，即是指數學。下圖是意大利著名畫家拉斐爾的《雅典學園》取材於(yu) 公元前4世紀古希臘哲學家柏拉圖舉(ju) 辦柏拉圖學園的故事，整幅畫洋溢著濃厚的學術氛圍。在畫中，兩(liang) 位古代偉(wei) 大的數學家被畫家安排在很顯著的位置。左邊方框中的中心人物是古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯，右邊是編撰《幾何原本》的古希臘數學家歐幾裏得。

拉斐爾，《雅典學園》

歐幾裏得生活於(yu) 約公元前330年到公元前275年之間，被稱為(wei) “幾何之父”，歐幾裏得幾何學成為(wei) 用公理化方法建立起來的數學演繹體(ti) 係的最早典範。在之後的2000多年間，這一嚴(yan) 格的思維形式， 不僅(jin) 用於(yu) 數學，也用於(yu) 其他科學，甚至用於(yu) 神學、哲學和倫(lun) 理學中，產(chan) 生了深遠的影響。

這裏我們(men) 要特別提到一位著名的女數學家希帕提婭。她出生在埃及亞(ya) 曆山大裏亞(ya) 城，是世界上有記載的第一位女數學家。也另有說法，在希帕提婭之前其實也有不少女性從(cong) 事數學研究，但她們(men) 的作品沒有流傳(chuan) 下來。希帕提婭的父親(qin) 賽翁（Theon）是有名的數學家和天文學家，希帕提婭協助父親(qin) 完成幾何原本的現在版本，這位聰慧的女性以她的才華和貢獻躋身於(yu) 古代世界最優(you) 秀的學者之列。公元415年她慘死於(yu) 暴徒手下。希帕提婭雖去世一千五百多年了，但她的科學精神鼓舞了一代又一代的青年人，尤其是女士們(men) 從(cong) 事數學研究。今天女數學家的比例越來越高，如在世界一流大學工作的華裔女數學家就有許多。

古希臘著名數學家、哲學家希帕提婭

文獻中普遍認為(wei) ：歐幾裏得是在公元前300年左右完成了《幾何原本》一書(shu) 。全書(shu) 分13卷。有5條“公理”或“公設”、23個(ge) 定義(yi) 和467個(ge) 命題。歐幾裏得由公理,公設和定義(yi) 出發，嚴(yan) 格推導出命題。他嚴(yan) 格論證了畢達哥拉斯定理，即“勾股定理”，從(cong) 而確定了勾股定理的正確性。

遠在公元前約三千年的古巴比倫(lun) 人就知道和應用勾股定理，還知道許多勾股數組。古埃及人也應用過勾股定理。在中國，西周早期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。勾股定理等價(jia) 於(yu) 證明：在一直角三角形中，斜邊上的正方形的麵積等於(yu) 兩(liang) 條直角邊上的兩(liang) 個(ge) 正方形的麵積之和。

趙爽是我國數學家，他是東(dong) 漢末至三國時代吳國人。趙爽為(wei) 《周髀算經》作注時，解釋了《周髀算經》中勾股定理，並給出了證明：“按弦圖，又可以勾股相乘為(wei) 朱實二，倍之為(wei) 朱實四，以勾股之差自相乘為(wei) 中黃實，加差實，亦成弦實。” 2002年國際數學家大會(hui) 會(hui) 標的靈感就來源於(yu) 此，這個(ge) 標誌現在也是米兰体育官方网站入口的標誌。

趙爽弦圖

米兰体育官方网站入口的標誌

古希臘數學家泰阿泰德發現隻存在5種正多麵體(ti) ，不存在第6種。這一結果的證明最早也是出現在歐幾裏得的《幾何原本》中。柏拉圖的宇宙觀基本上是一種數學的宇宙觀。他設想宇宙開頭有兩(liang) 種直角三角形，一種是正方形的一半，另一種是等邊三角形的一半。從(cong) 這些三角形就合理地產(chan) 生出四種正多麵體(ti) ，組成四種元素。火是正四麵體(ti) ，氣是正八麵體(ti) ，水是正二十麵體(ti) ，土是立方體(ti) 。第五種正多麵體(ti) 是由正五邊形形成的十二麵體(ti) ，這是組成天上物質的第五種元素，叫做以太。5種正多麵體(ti) 被稱為(wei) “柏拉圖立體(ti) ”。可見被授予光環的也不一定是原本的發現者。

5種正多麵體(ti)

仔細觀察，城市中很多球形建築上都有12個(ge) 特殊的點，比如位於(yu) 北京奧森公園附近的中國科技館，這些球形建築上的12個(ge) 特殊點每個(ge) 點由5個(ge) 三角形組成，這是多麵體(ti) 幾何性質約束的結果。大家有興(xing) 趣可以去現場找找這12個(ge) 特殊點。其實，在兩(liang) 千多年前古希臘數學家已經發現了這一特點。

中國科技館

大型球狀建築物，類似於(yu) 將正二十麵體(ti) 每個(ge) 三角形切分成4個(ge) 三角形，然後將每一個(ge) 新的三角形再同樣切分，依次切分下去，得到若幹小三角形側(ce) 麵，將它們(men) “吹鼓”起來變成類球體(ti) 形狀。之前提到的中國科技館球狀建築就是這樣，由成千上萬(wan) 塊小三角形拚成，球體(ti) 表麵的12個(ge) 特殊的點就是原本正二十麵體(ti) 的12個(ge) 頂點。在生活中，我們(men) 還可以看到類似的物品，比如足球其實是截去頂點並稍加吹鼓起來的正二十麵體(ti) 。

歐幾裏得《幾何原本》中還有關(guan) 於(yu) 數論的結果：有無窮多個(ge) 素數。素數是隻能被1和自己整除的正整數， 如2，3，5，7，11，13……任何整數都可以分解成素數的乘積，所以素數被認為(wei) 是數的“原子”。數論是數學的核心分支之一，研究素數是一個(ge) 重要部分，許多著名猜想都與(yu) 素數有關(guan) ，如被譽為(wei) “皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想：任一大於(yu) 2的偶數都可寫(xie) 成兩(liang) 個(ge) 素數之和。至今最好的結果是1966年陳景潤先生證明的。還有有關(guan) 黎曼ζ函數的零點分布著名的黎曼猜想。素數理論被用於(yu) 信息安全技術，有無窮多個(ge) 素數是現代信息安全技術的基礎。

素數不僅(jin) 有無窮多個(ge) ，我們(men) 還能描述它的分布，素數定理就是其中一個(ge) 描述。素數定理（Prime Number Theorem）敘述如下：

設x≥1，以π(x)表示不超過x的素數的個(ge) 數，則當x趨於(yu) 無窮時，

π(x)～x/ln(x)。

1896年，阿達馬和德·拉·瓦萊布桑（Charles-Jean de la Vallée Poussin）各自獨立地證明了素數定理。1949年，塞爾伯格和埃爾德什（Paul Erdős）分別獨立地給出了素數定理的完全“初等”的證明，這是塞爾伯格獲得菲爾茨獎的一個(ge) 重要工作。由素數定理，我們(men) 可以估計素數的個(ge) 數，如果x是1億(yi) ，素數有300多萬(wan) 個(ge) 。如果x是100億(yi) ，素數有3億(yi) 多個(ge) 。我們(men) 還可求π(x)的漸進展開公式，第二個(ge) 本質項的冪次大小與(yu) 黎曼猜想緊密相關(guan) 。

素數理論在好萊塢電影中也出現。獲奧斯卡獎的好萊塢科幻電影《超時空接觸》中就有素數理論的應用。女主人公利用素數的數學理論破譯了來自外太空的密碼，這些密碼是生產(chan) 時空機器的圖紙和說明。時空機器製造出來後，女主人公成為(wei) 人類首位與(yu) 外星生命接觸的使者，飛越宇宙，與(yu) 外太空的生命進行理智的接觸。

好萊塢科幻電影《超時空接觸》海報

數學結論最基本的要求是“正確”，無論多麽(me) 顯然的結論，都需要從(cong) 已知的確定結論通過正確的推理得出。這成為(wei) 數學最顯著的特征。幾何原本提出五大公設,其中第五公設相比前四個(ge) 公設不那麽(me) 顯而易見。那麽(me) ，第五公設能否作為(wei) 公設，而作為(wei) 定理？循著這條路線望去，這就是最著名的、爭(zheng) 論了長達兩(liang) 千多年的關(guan) 於(yu) “平行線理論”的討論。由此產(chan) 生了很多意想不到的、具有重要價(jia) 值和意義(yi) 的研究成果。

在1830年左右，俄國羅巴切夫斯基，匈牙利雅諾什發現了第五公設不可證明，創立了非歐幾何學。雅諾什在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭社會(hui) 的冷漠對待，他的父親(qin) ——數學家鮑耶·法爾卡什勸他放棄。高斯也發現第五公設不能證明，並且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會(hui) 遭到教會(hui) 力量的打擊，不敢公開發表。可見探索真理的道路並不是一帆風順的，是非常艱苦的，需要持之以恒的努力和堅定的信念。

雙曲幾何中有四種常用模型，龐加萊圓盤模型是其中一種，如下圖所示，有無窮多條線通過一個(ge) 給定的點且平行於(yu) 一條給定的線。

龐加萊圓盤

著名數學家黎曼1851年創立黎曼幾何，引進了流形和度量的概念，證明曲率是度量的唯一內(nei) 涵不變量，具有劃時代的意義(yi) 。從(cong) 歐幾裏得的第五條公設引發的關(guan) 注和思考，產(chan) 生了非歐幾何諸多重要的研究方向，這些研究都並是不以“有用” 作為(wei) 研究原點的，但是最終證明是非常有價(jia) 值的。1915年，愛因斯坦創立了新的引力理論——廣義(yi) 相對論，黎曼幾何成為(wei) 其重要工具。

黎曼像

數學研究的最初目的往往不是為(wei) 了功利，最後卻獲得特別的效果和重要的應用。數學是不以“有用”為(wei) 研究的原點，也就是說數學本身是非常純粹的。好的數學並不是僅(jin) 僅(jin) 屈從(cong) 於(yu) 某個(ge) 具體(ti) 的目的，但是一旦取得了數學中思維的突破，實際上它卻又是極為(wei) “有用”的。所以我一直都認為(wei) 數學是不以“有用”為(wei) 研究的原點，實際上卻又是極為(wei) 有用的學科，事實上，數學無處不在。下麵我們(men) 一起具體(ti) 來看。

數學的簡潔性是人類思想表達經濟化要求的反映，它同樣給人以美感，給人很純粹的感覺。愛因斯坦說過：“美在本質上終究是簡單性。”比如歐拉公式，無法說清楚有多少凸多麵體(ti) ，但它們(men) 都必須服從(cong) 歐拉公式，且由此可推出隻存在5種正多麵體(ti) 。

多麵體(ti) 的歐拉公式實際是歐拉示性數的特別情形，這是一個(ge) 拓樸不變量。上世紀40-60年代，示性數理論得到進一步發展， 引進了陳數、龐特裏亞(ya) 金數，證明了Gauss-Bonnet-Chern定理，指標定理。 這些新理論與(yu) 物理中規範場論有緊密聯係。在凝聚態物理中, 量子霍爾效應的拓撲序可用示性數描述。

Gauss-Bonnet-Chern定理

2016年諾貝爾物理學獎頒發給三位從(cong) 事拓撲相變和拓撲物質形態研究的學者。拓撲是幾何學發展而衍生的一個(ge) 核心數學領域，研究幾何體(ti) 在連續形變中所不改變的性質。拓撲物質形態用拓撲示性數，比如“陳數”，來刻畫新的物質形態。拓撲相還存在於(yu) 三維材料中。這些拓撲材料有望在新一代電子器件和超導體(ti) 中產(chan) 生應用，以及在未來量子計算機方麵有應用。

對稱性是數學美的一個(ge) 基本內(nei) 容。中國的建築就很好的應用了數學的對稱美，比如故宮在北京中軸線中心上，彰顯著皇權的至高無上。走進皇城每件東(dong) 西也都很講究對稱。橫九路、豎九路，共是九九八十一個(ge) 。對於(yu) 我們(men) 中國人而言，九，是陽數之極，象征帝王最高的地位。甚至連圍牆，都被精心計算好了角度。天壇也是這樣，有很多對稱的元素。

天壇包含了對稱性元素

用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平麵圖形進行拚接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平麵圖形的密鋪。除正三角形、正四邊形和正六邊形外，其他正多邊形，如正五邊形，都不可以密鋪平麵。但有的五邊形可以密鋪平麵，下圖列出了15種早已熟知的五邊形密鋪。第16種可密鋪五邊形是2015年由美國數學家發現的。

密鋪在建築中也常見到。西班牙格拉納達紅宮是伊斯蘭(lan) 世界在西班牙留下的輝煌古跡。阿拉伯的工匠們(men) 在幾何圖案的設計中展現出了令人歎為(wei) 觀止的創造力。大家可以看到，紅宮的建築紋飾是各種幾何圖形的對稱、旋轉、平移。目前存在隻存在17種類型的幾何密鋪，我們(men) 在紅宮都可以找到。

西班牙格拉納達紅宮及其部分建築文飾

數學的深刻性是毋庸置疑的，數學中最漂亮的部分常聯係著不同的分支，揭示特定的本質。比如勾股定理告訴我們(men) ：a2+b2=c2

著名的費馬大定理就是記錄在Arithmetica的1621年版的書(shu) 中 ：如果n  > 2,  則aⁿ + bⁿ = cⁿ 沒有非零整數解。費馬聲稱自己有一個(ge) “絕妙的證法”，當然他沒有寫(xie) 下來。

費馬猜想的證明有很長的曆史，期間經曆了幾次重大突破，這個(ge) 問題最終在1994年被懷爾斯證明，他也因此拿到了為(wei) 他特別製作的菲爾茲(zi) 銀質獎章。懷爾斯的證明用到了大量現代的數學工具和技巧，他的證明揭示了橢圓曲線和數論之間的深刻聯係。

英國著名數學家、牛津大學教授Andrew Wiles

Fermat大定理的證明正是基於(yu) 橢圓曲線的理論。近年來，利用橢圓曲線的密碼係統越來越受到重視。橢圓曲線在密碼學中的使用是在1985年由N.Koblitz和V.Miller分別獨立提出的。實際上，密碼學已經廣泛應用在我們(men) 日常生活中，如銀行密碼、電子商務等。它使用了大量的數學工具。在電子商務中，經典的RSA算法被廣泛使用。RSA算法是由MIT研究人員Rivest, Shamir和Adleman在1978年公開推廣的，其基本原理是因為(wei) 素數分解的困難。而橢圓曲線密碼的安全性遠高於(yu) 用素數分解的RSA算法。

橢圓曲線就是三次代數曲線，即複平麵上三次代數多項式的零點集，如 y^2=x^3 +1,  y^2=5 x^3–7 等。研究一般多項式零點集的幾何稱為(wei) 代數幾何。

數學的統一性可表現為(wei) 數學概念、規律、方法的統一, 數學理論的統一, 數學和其他科學的統一。1904年，著名法國數學家亨利·龐加萊（1854-1912年）提出了一個(ge) 拓撲學的猜想：“任何一個(ge) 單連通的，閉的三維流形一定同胚於(yu) 一個(ge) 三維的球麵。”一個(ge) 閉的三維流形就是一個(ge) 有界無邊的三維空間；單連通指這個(ge) 空間中每條閉曲線都可以連續的收縮成一點。因此龐加萊猜想可以通俗的說成：任何一個(ge) 滿足這樣性質的三維空間，它“本質上”是一個(ge) 三維的球。這個(ge) 猜想可以被推廣到三維以上空間，被稱為(wei) “高維龐加萊猜想”。

法國郵票上的龐加萊像

多年來，每一次龐加萊猜想的突破都是數學界的大事情。1961年S. Smale證明了龐加萊猜想的五維空間和五維以上的情形，立即引起轟動。斯梅爾由此獲得1966年菲爾茨獎。1982年，M. Freedman證明了四維空間中的龐加萊猜想，並因此獲得1986年菲爾茨獎。很多人用拓撲學的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展，有人開始想到了其他的工具。W. Thurston就是其中之一。他引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割，提出了幾何化猜想並解決(jue) 了一個(ge) 重要情形。W. Thurston獲得了1982年的菲爾茨獎。龐加萊猜想是幾何化猜想的一個(ge) 特別情形，但W. Thurston解決(jue) 的情形不包括龐加萊猜想情形。

千百年來，數學家們(men) 在拓展人類思維邊界的道路上，不懈努力，取得了眾(zhong) 多的傑出成果。但是還有很多懸而未解的重大問題，有待有誌者去解決(jue) 。比如，2000年著名的克雷數學研究所將龐加萊猜想等七個(ge) 重要數學問題列為(wei) “七大千禧年難題”，即：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊－米爾斯理論、納衛爾－斯托可方程、BSD猜想。破解每個(ge) 難題都可獲得100萬(wan) 美元的獎勵，這七大數學難題被認為(wei) 是“對數學發展具有中心意義(yi) 、數學家們(men) 夢寐以求而期待解決(jue) 的重大難題”。

傳(chuan) 奇數學家Perelman在花了8年多時間研究龐加萊猜想這個(ge) 足有一個(ge) 世紀的數學難題後，在2002年11月和2003年7月之間，將3份關(guan) 鍵論文的手稿上傳(chuan) 到arXiv.org這個(ge) 專(zhuan) 門刊登數學等學科的預印本論文的網站上，並用電郵通知了幾位數學家，聲稱自己證明了幾何化猜想。後來，Perelman理所當然地得了菲爾茲(zi) 獎，但是他沒有去領獎。Perelman的數學才華和特立獨行，大家在網上都能查到一些描述，在這裏就不再贅述。

傳(chuan) 奇數學家Perelman

Perelman的證明中使用了R. Hamilton引進的Ricci流，它是一組微分方程。他通過完成一係列的拓撲手術，構造奇點可控的幾何解，從(cong) 而解決(jue) 了幾何化猜想以及三維的龐加萊猜想。這是用幾何分析技巧理解拓撲問題的典範。

Ricci Flow

不僅(jin) 數學不同分支之間有深刻的聯係。數學和物理更是一直相互啟發，相互推動，一同發展。愛因斯坦方程在廣義(yi) 相對論中，宇宙一切物質的運動都可以用幾何學中的曲率來描述，引力場實際上就是一個(ge) 彎曲的時空。

計數幾何是代數幾何的一個(ge) 重要分支，研究幾何方程的解的個(ge) 數。它有非常悠久的曆史。近三十年來，計數幾何與(yu) 物理的拓樸場理論研究相互影響，促進了兩(liang) 個(ge) 學科的高度發展。它的研究更加係統化，與(yu) 數學其他分支，如表示論、微分方程等緊密相連。量子同調環就是一例。1993年，受物理中場論研究的啟發，我和阮勇斌首次建立它的數學理論，解決(jue) 了一類經典的計數幾何問題。

數學在經濟學、生物學等學科的發展中也起到非常重要的作用。很多諾貝爾經濟學獎得主都是學數學出身的，大家熟悉的約翰·納什、就是數學家，也是奧斯卡電影獎《美麗(li) 心靈》的主人公原型。約翰·納什也是普林斯頓大學教授，我之前在普林斯頓工作，在校園裏時常見到他。納什不僅(jin) 獲得諾貝爾經濟學獎，他還獲得阿貝爾獎。阿貝爾大獎是數學界的重大獎項，為(wei) 了紀念挪威著名數學家阿貝爾二百周年誕辰而設立的，據說設立此獎的一個(ge) 原因也是因為(wei) 諾貝爾獎沒有數學獎項，阿貝爾獎獎金的數額大致同諾貝爾獎相近。

約翰·納什

此外，1997年諾貝爾經濟學獎得主羅伯特·莫頓，他也是數學家。2005年諾貝爾經濟學獎得主羅伯特·奧曼的最高學曆是麻省理工的數學博士。2012年諾貝爾經濟學獎頒發給哈佛大學教授羅斯和加州大學的沙普利，他們(men) 倆(lia) 本科和博士都讀的是數學專(zhuan) 業(ye) 。

數學在醫學上也無處不在，如利用概率和統計來驗證新藥或程序的有效性，或估計接受某些治療的癌症患者的存活率。現在我們(men) 在醫院中常見的CT成像技術的數學基礎是Radon變換。

CT成像技術

純數學在遺傳(chuan) 學的一個(ge) 重要的應用是“哈代定律”。哈代是著名數學家，他曾經說過：我從(cong) 未做過任何有用的事情，我的發明不會(hui) 直接或間接的對改變世界作出任何貢獻。有趣的是，1908年哈代的工作在遺傳(chuan) 學方麵得到了應用，並且有一個(ge) 以他的名字命名的哈代定律，被稱為(wei) 人口遺傳(chuan) 學的科學基礎。1854年英國醫生John Snow通過繪製英國倫(lun) 敦的霍亂(luan) 地圖及利用統計方法，發現了病毒來自於(yu) 被汙染的水泵。近年來，研究者們(men) 綜合利用統計模型，基於(yu) 多源信息對傳(chuan) 染病的流行規律進行更加精確地建模分析。此次新型冠狀病毒疫情中, 國內(nei) 外研究團隊大多數都是以動力學模型為(wei) 基礎，給出疫情發展趨勢的分析和預測。米兰体育官方网站入口已向國家提交多篇有關(guan) 論文和報告。

近年來，人工智能、大數據興(xing) 起，成為(wei) 受人矚目的研究領域，北京大學還設置了數據科學專(zhuan) 業(ye) 。人工智能、大數據其實也是與(yu) 數學密不可分的。有觀點認為(wei) ，AI人工智能科技的本質就是數學。而大數據，本質上就是海量數據的匯集，數學提供了研究基礎和工具。

可見，數學有極大的價(jia) 值和用處。曆史的經驗告訴我們(men) ，數學研究在發達國家的科學戰略中始終居於(yu) 最重要的地位。我們(men) 的國家要實現可持續發展必須有原創性的科學研究以及原創性的數學研究！

數學等基礎學科已經得到國家重視，2018年國務院印發《關(guan) 於(yu) 全麵加強基礎科學研究的若幹意見》，以進一步加強基礎科學研究、大幅提升原始創新能力，夯實建設創新型國家和世界科技強國的基礎。

為(wei) 了落實《關(guan) 於(yu) 全麵加強基礎科學研究的若幹意見》要求，切實加強我國數學科學研究，2019年7月12日，科技部、教育部等四部委聯合印發《關(guan) 於(yu) 加強數學科學研究工作方案》。工作方案指出：數學實力往往影響著國家實力，幾乎所有的重大發現都與(yu) 數學的發展與(yu) 進步相關(guan) ，數學已成為(wei) 航空航天、國防安全等領域不可或缺的重要支撐。

最後我引用四川大學羅懋康教授寫(xie) 的一副對聯，表明我們(men) 數學家也不乏有深厚的文學和藝術修養(yang) 。這副對聯是：天道幾何 萬(wan) 品流形先自守。變分無限 孤心測度有同倫(lun) 。從(cong) 漢語字義(yi) 和數學角度去理解都充滿了深刻的含義(yi) 。在短短22字中，有幾何、流形、變分、無限等七個(ge) 數學概念。這副對聯的意思是：不管客觀世界的規律如何，萬(wan) 事萬(wan) 物都早已按照這些規律發展演化。客觀世界的變化是無窮無盡的，總有一心追尋科學真理的同路人。數學充滿著無窮的魅力，深深吸引著一代又一代有誌之士不斷探索、攀登。希望有更多優(you) 秀人才加入到數學研究的行列。謝謝大家！

位於(yu) 北京大學全齋北門的數學對聯

Q&A

問：我國中學生在世界數學奧林匹克競賽中屢獲佳績（30多年），而至今無人獲得菲爾茲(zi) 獎呢？

答：奧數競賽跟做數學研究完全是兩(liang) 回事。競賽是在指定時間內(nei) 解出一道給定的題目，而做研究需要自己去開發問題，對時間要求沒有那麽(me) 嚴(yan) 格。從(cong) 實際情況來說，我們(men) 培養(yang) 一個(ge) 數學人才，最重要的還是看其是否確實對數學有興(xing) 趣。很多參與(yu) 數學競賽的學生後來都不做數學了，就是因為(wei) 他們(men) 對於(yu) 數學並沒有興(xing) 趣或是興(xing) 趣沒有那麽(me) 大。我們(men) 現在有些年輕數學家確實做出了非常突出的工作成果，至少是有可能得獎的，但是否近幾年內(nei) 就能拿到，這很難說。就像是張偉(wei) 、惲之瑋、許晨陽、還有朱歆文都做出了相當好的工作。我也知道我們(men) 現在有一些年輕人也是積極努力朝這個(ge) 方向走，獲獎就是一個(ge) 時間早晚的問題。 獲獎與(yu) 否也取決(jue) 於(yu) 很多因素，評審委員會(hui) 也是來自各個(ge) 國家，候選人的工作成果也需得到國際學術界的了解和認可。我們(men) 會(hui) 為(wei) 年輕學者創造更好的條件，鼓勵他們(men) 做大問題，參加一些重要的學術交流，爭(zheng) 取更多的國際認可。當然，比起得獎，對數學發展來說更重要的還是產(chan) 生一些對人類的發展起到關(guan) 鍵推動作用的工作。

問：接觸一個(ge) 相對新的數學領域，尤其是對於(yu) 新人，有什麽(me) 好的建議嗎？是讀一本這個(ge) 領域的著作，還是讀幾篇或者十幾篇高質量的論文？如何效率高一些？

答： 打好基礎對學習(xi) 新領域是非常重要的，開始的時候可以先讀一些相關(guan) 領域的書(shu) 籍了解基本概念，這個(ge) 是必要的。再根據興(xing) 趣讀一些論文，當然論文不像書(shu) 籍那樣一層一層的條理非常清楚，論文思維上可能會(hui) 有一些跳躍，讀起來有難度，初學的人不要感到很為(wei) 難，不強求讀得多，根據個(ge) 人興(xing) 趣和情況，可先挑選一些重要的文章閱讀。可以通過設法推廣延伸，深入理解論文的結果和方法，多思考，努力解決(jue) 一些問題，做研究一定要有耐心，不必太過擔心效率。

問：怎麽(me) 樣讓中國數學從(cong) 小學開始培養(yang) ，小學生如何建立數學思維，家長在家庭生活中如何有效引導孩子（當然不僅(jin) 僅(jin) 是學習(xi) 書(shu) 本）

答：（笑）這個(ge) 問題可能是家長提的。剛才我在報告中也介紹了，其實數學離我們(men) 日常生活並不遙遠，數學無處不在，在自然界中有數學，在日常生活中到處都能找到數學的影子。在家庭教育中，孩子的數學思維培養(yang) 可以從(cong) 生活的小事著手。比如孩子很小的時候讓他對應著實物數數，建立起數字的概念。比較大小、長短、高矮等等，在孩子腦海中建立抽象概念。另外，平時也可以與(yu) 孩子玩一些有趣數學的遊戲。我的母親(qin) 也是數學家，我記得在我小時候，那時候物質條件遠不如現在，我母親(qin) 就和我玩稱球遊戲，給定球的數量和限定稱的次數，找出壞球。通過寓教於(yu) 樂(le) ，孩子不會(hui) 覺得枯燥，培養(yang) 了孩子的好奇心和求知欲，幫助他們(men) 建立起邏輯推理的能力。現在有很多學習(xi) 機會(hui) ，如科普書(shu) 籍和網課，可以有針對性地選擇一些數學啟蒙書(shu) 籍對於(yu) 建立數學思維也是很有幫助的，比如我母親(qin) 在我小時候就引導我讀幾何原本，那個(ge) 時候我對數學產(chan) 生了濃厚的興(xing) 趣。

問：來自遼寧-營口的網友：您認為(wei) 目前中國基礎教育的數學發展中的優(you) 勢在哪裏？還有哪些有待進一步深入推進的方向呢？

答：這十幾年來，中國數學有了非常好的發展，尤其從(cong) 國家的各大人才計劃實行以來，引進和培養(yang) 了一批非常優(you) 秀的年輕人，對數學的隊伍建設起了非常好的作用。隨著國家的經濟條件變好，高等教育水平的提高與(yu) 學校人才培養(yang) 質量的提升，以及現在國家對數學的重視，年輕人學數學的熱情和興(xing) 趣也提高了，人才後備軍(jun) 還是很不錯的。這幾年我們(men) 確實培養(yang) 了一些相當好的年輕人。整體(ti) 來看的話，中國數學的發展趨勢還是非常好的。但在一定程度上，如果在三四十歲以下的年輕人中間比較，中國的數學人才和美國或是整個(ge) 歐洲還是有一定差距，但是要是和歐洲某個(ge) 國家相比，我們(men) 還是有一定優(you) 勢的，因為(wei) 確實有一批優(you) 秀的年輕人，而且中國人也多。和美國相比的話，美國的優(you) 秀人才的來源更豐(feng) 富也更多元，因為(wei) 它把全世界優(you) 秀的人都吸引過去了，而我們(men) 目前主要的人才來源還是集中在華人或者是歸國的人才，還有靠自己培養(yang) 的一部分人才。但是我對於(yu) 以後的發展還是充滿信心，主要是我們(men) 的隊伍比較好，當然可能還需要一些時間讓外人來了解我們(men) 所做的工作，再通過一定的努力可以吸引到一些國外的好的學生或是博士來中國學習(xi) 、工作，以擴大我們(men) 的國際影響。當然，一所大學或者科研機構是否真的達到世界一流，其中一個(ge) 重要的標準是看世界各地的年輕人是否願意來這裏學習(xi) 。對於(yu) 博士或是博士後來說，他們(men) 不會(hui) 隻考慮待遇的問題，他們(men) 更看重在這裏的經曆對他們(men) 以後的發展有沒有幫助。在這個(ge) 方麵上，我們(men) 的條件也是越來越好了，有一定的競爭(zheng) 力，但是還是需要繼續努力。

（文中主要圖片來自於(yu) 網絡，特此致謝）

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田剛院士在線科普講座《數學內(nei) 外》演示文稿