數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。而整數的基本元素是素數（也稱質數），所以數論的本質是對素數性質的研究。數論被高斯譽為(wei) “數學中的皇冠”。因此，數學家都喜歡把數論中一些懸而未決(jue) 的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們(men) 去“摘取”。今年以來數論研究獲得了多項突破性進展，這讓數學界感到萬(wan) 分驚喜。

發現已知的最大素數

美國中央密蘇裏大學數學家柯蒂斯·庫珀領導的研究小組通過參加一個(ge) 名為(wei) “互聯網梅森素數大搜索”（GIMPS）的國際合作項目，於(yu) 1月25日發現了目前已知的最大素數——257885161-1 （即2的57885161次方減1）。該素數是第48個(ge) 梅森素數，有17425170位；如果用普通字號將它連續打印下來，其長度可超過65公裏！美國數學學會(hui) 發言人邁克·布林宣稱：這是數論研究的一項重大突破。

研究小組在大約1000台大學裏的計算機上運行GIMPS的軟件，每台計算機都不間斷地用了39天時間證明257885161-1是個(ge) 素數。之後其他研究者也獨立驗證了這一結果。近年來，庫珀通過參加GIMPS項目一共發現了3個(ge) 梅森素數。

尋找梅森素數已成為(wei) 發現已知最大素數的最有效途徑。如今世界上有180多個(ge) 國家和地區近28萬(wan) 人參加了GIMPS項目，並動用超過79萬(wan) 台計算機聯網來尋找新的梅森素數。梅森素數是否有無窮多個(ge) ？這是一個(ge) 尚未破解的著名數學謎題。

證明“弱孿生素數猜想”

美國新罕布什爾大學數學家張益唐經過多年努力，在不依賴未經證明推論的前提下，率先證明了一個(ge) “弱孿生素數猜想”，即“存在無窮多個(ge) 之差小於(yu) 7000萬(wan) 的素數對”。4月17日，他將論文投稿給世界頂級期刊《數學年刊》。美國數學家、審稿人之一亨裏克·艾溫尼科評價(jia) 說：“這是一流的數學工作。”他相信不久會(hui) 有很多人把“7000萬(wan) ”這個(ge) 數字“變小”。

盡管從(cong) 證明弱孿生素數猜想到證明孿生素數猜想還有相當的距離，英國《自然》雜誌在線報道還是稱張益唐的證明為(wei) 一個(ge) “重要的裏程碑”。由於(yu) 孿生素數猜想與(yu) 哥德巴赫猜想密切相關(guan) （姐妹問題），很多數學家希望通過解決(jue) 這個(ge) 猜想，進而攻克哥德巴赫猜想。

值得一提的是，英國數學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德曾提出一個(ge) “強孿生素數猜想”。這一猜想不僅(jin) 提出孿生素數有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。中國數學家周海中指出：要證明強孿生素數猜想，人們(men) 仍要麵對許多巨大的困難。

解開“弱哥德巴赫猜想”

5月13日，秘魯數學家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師範學院宣稱：證明了一個(ge) “弱哥德巴赫猜想”，即“任何一個(ge) 大於(yu) 7的奇數都能被表示成3個(ge) 奇素數之和”。他將論文投稿給全球最大的預印本網站（arXiv）；有專(zhuan) 家認為(wei) 這是哥德巴赫猜想研究的一項重大成果。不過，其證明是否成立，還有待進一步考證。

赫爾弗戈特在論證技術上主要使用了哈代-李特爾伍德-維諾格拉多夫圓法。在這一圓法中，數學家創建了一個(ge) 周期函數，其範圍包括所有素數。1923年，哈代和李特爾伍德證明，假設廣義(yi) 黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想對充分大的奇數是正確的；1937年，蘇聯數學家伊萬(wan) ·維諾格拉多夫更進一步，在無須廣義(yi) 黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數可以表示為(wei) 3個(ge) 素數之和。

英國數學家安德魯·格蘭(lan) 維爾稱，不幸的是，由於(yu) 技術原因，赫爾弗戈特的方法很難證明“強哥德巴赫猜想”，即“關(guan) 於(yu) 偶數的哥德巴赫猜想”。如今數學界的主流意見認為(wei) ：要證明強哥德巴赫猜想，還需要新的思路和工具，或者在現有的方法上進行重大的改進。（鄭輝 作者係新加坡南洋理工大學教授）

來源：中國科學報