● 我們(men) 不能要求決(jue) 策者本人一定要懂得很多數學，但至少要經常想想工作中有沒有數學問題需要請 數學家來谘詢。

● 因為(wei) 數學是科技創新的一種資源，是一種普遍適用的並賦予人以能力的技術。

四、數學與(yu) 國防

在二戰中，數學家對於(yu) 盟軍(jun) 取勝起到了什麽(me) 作用？ 

馮(feng) ·諾依曼是 20 世紀一位頂級數學家，也是第一台電子計算機程序和存儲(chu) 的研製構思者。他對 美國原子彈的製造做了兩(liang) 大貢獻：一是幫助洛斯阿拉莫斯找到了數學化的途徑。“數學化”是指用快 速計算機去模擬計算原子彈的爆炸過程和爆炸威力。二是研究爆聚炸彈，就是把一些炸彈、原子彈捆 綁起來發出更大的威力。

烏(wu) 拉姆是波蘭(lan) 數學家，他從(cong) 歐洲逃到美國後參加了曼哈頓計劃。為(wei) 了模擬核實驗，他發明了蒙特 卡羅計算方法。前蘇聯大數學家柯爾莫哥洛夫在二戰中提出了平穩隨機過程理論。美國數學家維納提 出了濾波理論，這些理論對於(yu) 排除噪音的幹擾，處理雷達所得的信息發揮了作用。

英國數學家圖靈是設計出通用數字計算機的第一人。二戰中，他與(yu) 一些優(you) 秀數學家一起，最終破 譯了德軍(jun) 所用的密碼體(ti) 製 Enigma。美國的密碼分析學家也於(yu) 1940 年破譯了日本的“紫密”密碼。1942 年日本突襲中途島海戰失敗，一個(ge) 重要原因是美國破譯了日本攻擊中途島的情報；1943 年 4 月，利 用所破譯的情報，美國打下了山本五十六的座機，成為(wei) 密碼史上精彩的一頁。

在現代化戰爭(zheng) 中，數學的作用更為(wei) 突出。在武器方麵有核武器、遠程巡航導彈等先進武器的較量。 在信息方麵有保密、解密、幹擾、反幹擾的較量。對策方麵有戰略、策略、武器配製等方麵的較量。 每一項都和數學有緊密的關(guan) 係。

核反應過程是在高溫高壓下進行的，核爆炸的巨大能量在微秒量級的時間內(nei) 釋放出來，很難在核 試驗中測量出核爆炸內(nei) 部的細微過程，隻能得到一些綜合效應的數據。但通過核反應過程的數學模型， 進行數值計算卻可以給出爆炸過程中各個(ge) 細節的圖像、定量的數據以及各種因素與(yu) 機製的相互作用。 在參加全麵禁止核試驗條約後，通過數值計算模擬核試驗就更重要了。

在巡航導彈方麵，《解放軍(jun) 報》在一篇《數學的威力》報道中寫(xie) 道： “一個(ge) 方程將衛星圖像質 量提高 30%，一個(ge) 公式改變了一個(ge) 部隊的知情模式。”

信息的“加密”與(yu) “解密”是一種對抗，正如人們(men) 所說 “魔高一尺，道高一丈”。而這種對抗 力量的表現全在所依靠的數學理論之上。例如，公開密鑰算法大多基於(yu) 計算複雜度很高的難題，要想 求解，需要在高速計算機上耗費許多時日才能得到答案。這些方法通常來自於(yu) 數論。例如，RSA 源於(yu) 整數因子分解問題，DSA 源於(yu) 離散對數問題，而近年發展快速的橢圓曲線密碼學則基於(yu) 與(yu) 橢圓曲線相 關(guan) 的數學問題。自從(cong) 費曼提出量子計算機以來，人們(men) 希望設計出一種計算機，它能實現在馮(feng) ？諾依曼 計算機上不能實現的算法。如果一旦能把某種類型的計算速度大大增加，那麽(me) 破解現有的密碼就有可 能。1994 年數學家 Shor 已經對假想的量子計算機，提出了一種大合數的因子分解方法，其複雜度大 大降低，使得在量子計算機上有可能破解許多現有的密碼。 

從(cong) 大的戰役指揮，到小的作戰方案，都需要了解敵我雙方的實力，運籌帷幄，不打無準備之仗。 這都需要進行定量化分析，建立模型，形成隨機應變的作戰指揮係統。其中概率統計、運籌學等數學 分支發揮著重要作用。

五、數學與(yu) 國民經濟

數學與(yu) 國民經濟中的很多領域休戚相關(guan) 。互聯網、計算機軟件、高清晰電視、手機、手提電腦、 遊戲機、動畫、指紋掃描儀(yi) 、漢字印刷、監測器等在國民經濟中占有相當大的比重，成為(wei) 世界經濟的 重要支柱產(chan) 業(ye) 。其中互聯網、計算機核心算法、圖像處理、語音識別、雲(yun) 計算、人工智能、3G 等 IT 業(ye) 主要研發領域都是以數學為(wei) 基礎的。所以信息產(chan) 業(ye) 可能是雇用數學家最多的產(chan) 業(ye) 之一。這裏用到許 多不同程度的數學工具，有的還有相當的深度，包括：編碼、小波分析、圖像處理、優(you) 化技術、隨機 分析、統計方法、數值方法、組合數學、圖論等等。

上世紀 70 年代之後，計算機技術和計算流體(ti) 力學的發展使數值模擬在大型客機的研製中發揮了 巨大作用，計算流體(ti) 力學與(yu) 風洞試驗、試飛一起並列成為(wei) 獲得氣動數據的三種手段。

傳(chuan) 統的大型工程，如水壩的設計需要對壩體(ti) 和水工結構作靜、動應力學分析。數學中的有限元方 法是其中最基本的計算方法。

在石油勘探與(yu) 開采中都大量運用數學方法，涉及到數字濾波、偏微分方程的理論和計算以及反問 題等。

數學模擬在化學工業(ye) 中也起很大的作用。被稱為(wei) 現代化工之父的美國人埃莫森，把有些化工實驗 在“小試”階段之後，通過成熟的數學建模手段取代“中試”，直接進入“大試”， 縮短了實驗周 期，節省了經費。

現代醫療診斷中常用的 CT 掃描技術，其原理是數學上的拉東(dong) 變換。 CT 螺旋式的運動路線記錄 X 光斷層的信息。計算機將所有的掃描信息按數學原理進行整合，形成一個(ge) 詳細的人體(ti) 影像。在更先進 的生物光學成像技術的研究中也吸引了不少數學家的參與(yu) 。

藥物檢驗—要評估一種新藥能否上市，需要經過新藥療效測試，這就要科學地設計試驗，以排除 各種隨機性的幹擾，真正評估出藥物的效果和毒性。為(wei) 此，人們(men) 設計出了雙盲試驗等試驗手段。國外 流行的 SAS 軟件，是藥物檢驗的必經之徑。發達國家製藥公司聘用大批擁有數理統計學位的雇員從(cong) 事 藥檢工作。

國際金融市場用“金融高技術”運作。“金融數學”是利用數學工具來研究金融，進行數學建模、 理論分析、數值計算等定量分析的一種金融高技術。它是數學和計算技術在金融領域的應用。華爾街 和一些發達國家大銀行、證券公司高薪雇用大批高智商的數學、物理博士從(cong) 事資本資產(chan) 定價(jia) 、套利、 風險評估、期貨定價(jia) 等方麵的工作。

發達國家的保險業(ye) 中早已使用“精算”為(wei) 金融決(jue) 策提供依據。精算學是一門運用概率、統計等數 學理論和多種金融工具，研究如何處理保險業(ye) 及其他金融業(ye) 中各種風險問題的定量方法和技術的學 科，是現代保險業(ye) 、金融投資業(ye) 和社會(hui) 保障事業(ye) 發展的理論基礎。

災害預測與(yu) 風險評估關(guan) 乎國計民生。數值模擬是大氣科學、地震預測等實驗性科學中的重要實驗 手段。而要提高預測的準確性必須縮小計算網格 (提高分辨率)、複雜化物理過程，這些都導致計算 量呈幾何級數增加，解決(jue) 的途徑不僅(jin) 要加大計算機、加快計算機的速度，還要改進數學方法。

有關(guan) 的研究表明，我們(men) 國家計算軟件工業(ye) 相對落後，並不是因為(wei) 我們(men) 缺少一般的程序人員，而是 缺乏有較高數學修養(yang) 的高水平的程序開發人員。與(yu) 此相對照的是，比如貝爾實驗室、朗訊、IBM、微 軟、穀歌、雅虎這類 IT 行業(ye) 領袖，不但大量地招聘數學專(zhuan) 業(ye) 的博士、碩士到公司工作，而且還專(zhuan) 門 設有相當規模的數學研究部門，支持數學家開展純粹數學理論研究，以確保長期的核心競爭(zheng) 力。IBM 公司還為(wei) 本公司五萬(wan) 名谘詢人員建立了數學學曆檔案，以便能夠針對每項工作任務，指派最合適的團 隊人員。

六、數學與(yu) 文化教育

（一）數學是一種文化

數學作為(wei) 現代理性文化的核心，提供了一種思維方式。這種思維方式包括：抽象化、運用符號、 建立模型、邏輯分析、推理、計算，不斷地改進、推廣，更深入地洞察內(nei) 在的聯係，在更大範圍內(nei) 進 行概括，建立更為(wei) 一般的統一理論等一整套嚴(yan) 謹的、行之有效的科學方法。按照這種思維方式，數學 使得各門學科的理論知識更加係統化、邏輯化。

作為(wei) 一種文化，它的特點在於(yu) ：

—追求一種完全確定的、完全可靠的知識。在數學上是非分明，沒有模棱兩(liang) 可。即使對於(yu) “偶然” 發生的隨機現象，對於(yu) “不確定”的事件，也要提出精確的概念和研究方法，確切回答某個(ge) 事件發生 的概率是多少，在什麽(me) 確切的範圍以內(nei) 等等。

—追求更深層次的、更為(wei) 簡單的、超出人類感官的基本規律。數學家們(men) 是把原始的來自實際的問 題，經過了層層抽象，在抽象的、仍然是客觀事物真實反映的更深層次上來考察、研究其內(nei) 在規律。

—它不僅(jin) 研究宇宙的規律，而且也研究它自己。特別是研究自身的局限性，並在不斷否定自身中 達到新的高度。由此可見，數學文化是一種非常實事求是的文化，它體(ti) 現了一種真正的探索精神，一 種毫不保守的創新精神。

（二）數學教育的重要性

在知識社會(hui) ，數學對於(yu) 國民素質的影響至關(guan) 重要。1984 年美國國家研究委員會(hui) 在《進一步繁榮 美國數學》中提出：“在現今這個(ge) 技術發達的社會(hui) 裏，掃除‘數學盲’的任務已經替代了昔日掃除文 盲的任務，而成為(wei) 當今教育的主要目標”。1993 年美國國家研究委員會(hui) 又發表了《人人關(guan) 心數學教 育的未來》的報告，提出：“除了經濟以外，對數學無知的社會(hui) 和政治後果給每個(ge) 民主政治的生存提 出了驚恐的信號。因為(wei) 數學掌握著我們(men) 的基於(yu) 信息的社會(hui) 的領導能力的關(guan) 鍵。” 當年讀了這後一段 話，很不理解，發生“棱鏡事件”之後才恍然大悟。

在我國有沒有掃除“數學盲”的必要？答案是肯定的。

普及數學知識。信息社會(hui) 對於(yu) 公民的邏輯能力要求明顯提高。中、小學數學教育最主要的目的之 一，應當在於(yu) 提高學生的邏輯能力。因此數學作為(wei) 一種“思想的體(ti) 操”，應該是中、小學義(yi) 務教育最 重要的組成部分。此外，多舉(ju) 辦各種科學普及講座，向公眾(zhong) 普及數學知識，介紹數學在各個(ge) 領域中的 應用也是必要的。

數學開闊人的視野，增添人的智慧。一個(ge) 人是否受過這種文化熏陶，在觀察世界、思考問題時會(hui) 有很大差別。數學修養(yang) 不但對於(yu) 一般科學工作者很重要，就是有了數學修養(yang) 的經營者、決(jue) 策者，在麵 臨(lin) 市場有多種可能的結果，技術路線有多種不同選擇時，也有可能減少失誤。億(yi) 萬(wan) 富翁詹姆斯·賽蒙 斯就是一個(ge) 最好的例證。在進入華爾街之前，賽蒙斯是個(ge) 優(you) 秀的數學家，進入華爾街之後，他和巴菲 特的“價(jia) 值投資”理念不同，賽蒙斯依靠數學模型和電腦管理旗下的巨額基金，用數學模型捕捉市場 機會(hui) ，由電腦做出交易決(jue) 策。他稱自己為(wei) “模型先生”，認為(wei) 建立好的數學模型可以有效地降低風險。

發達國家在大型公共設施建設，管道、網線鋪設以及航班時刻表的編排等方麵，早已普遍應用運 籌學的理論和方法，既省錢、省力又提高效率。可惜，運籌學的應用在我國還不普遍。其實我們(men) 不能 要求決(jue) 策者本人一定要懂得很多數學，但至少要經常想想工作中有沒有數學問題需要請數學家來谘 詢。

加強和改善高等數學教育，培養(yang) 創新人才。在 1988 年召開的國際數學教育大會(hui) 上，美國數學教 育家在 “麵向新世紀的數學的報告”中指出，“對於(yu) 中學後數學教育，最重要的任務是使數學成為(wei) 一門對於(yu) 懷著各種各樣不同興(xing) 趣的學生都有吸引力的學科，要使大學數學對於(yu) 眾(zhong) 多不同的前程都是一 種必要的不可少的預備”。對於(yu) 我們(men) 來說，就是改革“高等數學課”，使得它對於(yu) 非數學專(zhuan) 業(ye) 的學生 都有吸引力，而且也使他們(men) 學到的內(nei) 容能在今後工作中發揮作用。因為(wei) 數學是科技創新的一種資源， 是一種普遍適用的並賦予人以能力的技術，改善高等數學教育，提高大學生的數學水平，定將促進這 種資源的開發和科技的創新。

壯大應用數學隊伍，重視純粹數學的研究和人才。今天，數學幾乎已經深入到我們(men) 能想到的一切 方麵。這麽(me) 多有用處的數學，表麵上看都屬於(yu) 應用數學，然而，純粹數學與(yu) 應用數學的關(guan) 係如同一座 冰山，浮在水麵上的是應用數學，而埋在水下的是純粹數學。沒有埋於(yu) 水下的深厚積累，這些“應用” 是建立不起來的。數學是一個(ge) 有機的整體(ti) ，許多深刻的純粹數學理論把看似毫不相關(guan) 的概念和結論鏈 接了起來，為(wei) 研究現實世界中的問題提供強有力的思想和方法。無數事例證明：許多當時看不到有任 何應用前景的純粹數學理論，後來在現實世界應用中發揮了巨大作用。例如：數論與(yu) 現代密碼學，調 和分析與(yu) 模式識別，幾何分析與(yu) 圖像處理，隨機分析與(yu) 金融等等不勝枚舉(ju) 。

人們(men) 認為(wei) ：下一次科技革命將以人類三種新的“生存形式”為(wei) 重要標誌，即網絡人（生活在網絡 空間的虛擬人）、仿生人（高仿真智能人）和再生人（具有自然人特征的“複製人”）。預計這次科 技革命大約將在 2020-2050 年到來。回顧前幾次科技革命，數學大都起到了先導和支柱的作用。因此 有理由相信：數學必將成為(wei) 下一次科技革命最重要的推動力之一。我們(men) 要以早日實現中國夢的強烈責 任感和緊迫感，加速建設數學強國，為(wei) 在下次科技革命中贏得主動、搶占先機，奠定堅實基礎，提供 強大動力！

(作者為(wei) 北京大學數學科學學院教授、中國科學院院士、第三世界科學院院士)