編者按：驚聞丁石孫先生不幸離世，深表悲痛！丁先生是著名的數學家和教育家，對中國數學的發展做出了重要貢獻，是我們(men) 永遠學習(xi) 的楷模和典範。今天，重新回憶丁先生的《數學的力量》，讓我們(men) 深深緬懷丁石孫先生。丁先生永垂不朽！

數學的力量

數學的作用不局限於(yu) 它是一門知識，更不僅(jin) 僅(jin) 是工具，在整個(ge) 教育過程中，數學對人才的培養(yang) 具有很重要的作用。哪個(ge) 學科一旦與(yu) 數學的某個(ge) 問題掛鉤，往往就能夠得到一個(ge) 飛躍的發展，這方麵的例子很多。20世紀80年代，Hauptmann獲得諾貝爾化學獎，解決(jue) 的是如何用X光確定晶體(ti) 結構的問題。Hauptmann曾經說過：我的化學水平就是在大學念了半年普通化學，其他我不懂。實際上，他解決(jue) 用X光確定晶體(ti) 結構的問題主要靠的是數學。數學往往能夠對不同的學科起作用，但是，對什麽(me) 學科起作用，以什麽(me) 樣的方式起作用，並不是人們(men) 事先能夠預料的。

有人說，數學是科學的王後。這個(ge) 說法很多數學家都不讚成。數學並不是孤立於(yu) 其他學科高高在上的，而是和其他學科相輔相成，共同促進，共同發展的。把數學與(yu) 其他學科的關(guan) 係說成是一種夥(huo) 伴關(guan) 係也許更恰當一些。

在這23個(ge) 問題中有一個(ge) 問題是：有沒有一個(ge) 方法，能夠判斷一個(ge) 整係數的多元多項式組有沒有有理數解，或者有沒有整數解。按照數學的語言來說，就是能不能有個(ge) 算法。這個(ge) 問題引起了一部分數學家的注意，希望有一個(ge) 明確的回答。但是，經過了30多年，人們(men) 逐漸發現這個(ge) 算法是沒有的。在數學裏，要證明“有”在某種程度上比較容易，要證明有，你就要給出一個(ge) 算法，用這個(ge) 算法就能判斷。但是，你要說“沒有”，就需要說明什麽(me) 叫算法。可以說算法是很死的方法，當然這不是嚴(yan) 格的數學語言，但人們(men) 通常可以理解。如果你要證明這樣的東(dong) 西是不存在的，僅(jin) 靠這樣理解還不行。所以，直到1936年前後，才有數學家給算法下了定義(yi) 。

科學發展中常常會(hui) 出現種奇怪的現象，那就是一個(ge) 問題經過很多年不能解決(jue) ，但到了某一個(ge) 時候，同時好幾個(ge) 人以不同的方式解決(jue) 了這個(ge) 問題。給算法下定義(yi) 的問題也是如此。1936年前後，有幾個(ge) 人給出了算法的定義(yi) 。其中有一種算法的定義(yi) ， 現在叫做Turing機器。Turing機器是個(ge) 理想的計算機，它已經比較接近現在計算機的設計思想。可以說Turing機的定義(yi) ，就是後來的計算機設計思想的重要來源。從(cong) 這裏可以看出，一開始提出來的是一個(ge) 純數學的問題，根本沒想到設計計算機。但是你要解決(jue) 這個(ge) 問題就必須給算法下個(ge) 定義(yi) 。現在能發生這麽(me) 大作用的計算機，根源是一個(ge) 數學問題，而且研究這個(ge) 數學問題事先根本沒想到會(hui) 產(chan) 生這麽(me) 大影響。這個(ge) 例子說明，從(cong) 一個(ge) 純數學問題出發進行研究，結果不僅(jin) 解決(jue) 了數學問題，而且對其他學科產(chan) 生了重要影響。

又如“群論”。現在搞數學的都知道群是個(ge) 什麽(me) 概念。但群的定義(yi) 的出現，是20世紀50年代的事，最早是從(cong) 解方程出來的。大家知道解一元二次多項式，它的解是所謂根號，這個(ge) 問題大約在2000年前人們(men) 就知道，大家已在初等數學中學過。這裏有一個(ge) 有趣的過程：要把根通過係數表達出來。二次方程解決(jue) 了，很容易就會(hui) 想到三次怎麽(me) 樣，就是一元二次方程有沒有類似的公式。差不多到15世紀，二次方程就解出來了，那個(ge) 公式就非常複雜了。不久解四次方程的公式也出來了。數學家有個(ge) 癖好，就老想推廣，既然二次的公式有了，三次的公式有了，四次的公式也有了，那麽(me) 五次怎麽(me) 樣?大家就想五次也應該有，可是沒想到在五次方程這個(ge) 問題上遇到了很大的問題，差不多經過了幾百年，一直到19世紀開始都沒能解決(jue) 這個(ge) 問題。19世紀30年代，法國有個(ge) 叫Galois的年輕數學家，就提出了一個(ge) Galois 理論：就是他給出了一個(ge) 方法，能夠判定多少次方程的根能夠用係數表達出來。所謂表達出來，就是用加減乘除和開方（不一定開平方）表達出來。這樣的話，就提出了群的概念，這個(ge) 問題最終是用群的方法解決(jue) 的。開始這個(ge) 結果被送到法國科學院，科學院裏一個(ge) 很重要的科學家認為(wei) 是胡說八道，所以就一直沒人理睬。一直到19世紀50年代才正式發表出來，這樣群的概念就提出來了。Galois的這個(ge) 結果在20年之後才得到承認。

群的概念純粹是從(cong) 一個(ge) 數學問題提出，但提出之後，首先用來解決(jue) 的是化合物中晶體(ti) 究竟有幾種的問題。在19世紀末至20世紀初，俄國的化學家就利用群的概念解決(jue) 了晶體(ti) 結構有多少種。群的概念實際上是對稱性的一個(ge) 很好的度量，可以解決(jue) 對稱性用什麽(me) 來度量，也就是它的變換群是什麽(me) 結構，有多少。這又是一個(ge) 純粹從(cong) 數學裏提出的問題，但用處遠遠超出了數學的例子。數學中這樣的例子還可以舉(ju) 出很多。

數學研究的對象究竟是什麽(me) 呢？這個(ge) 問題很不容易說清楚。

過去說的數學的定義(yi) 是恩格斯在《自然辯證法》中提出來的，他說數學是研究客觀世界的數量關(guan) 係和空間形式的。恩格斯這個(ge) 定義(yi) 是19世紀提出來的，隨著20世紀數學的發展，很多東(dong) 西用這個(ge) 定義(yi) 概括不了。說到數量關(guan) 係，就是說數學是研究數的運算，但隨著數學的發展，數學運算的對象遠遠超出了數。譬如群論，它運算的對象是群元素。甚至還有其他的，可以說它與(yu) 運算毫無關(guan) 係，所以，說數學是研究數量關(guan) 係，就已經不夠了。還有被當時理解為(wei) 客觀世界的空間形式， 就是通常說的三維空間。但是，幾何學研究裏已經遠遠超出了三維，涉及到四維、五維、多維，甚至無數維。所以如果再拿19世紀的定義(yi) 來概括數學就顯得不夠。

如何給數學下一個(ge) 定義(yi) 呢？到現在為(wei) 止還沒有一個(ge) 定義(yi) 令人滿意。這也說明數學的定義(yi) 很難下。比如有人提出來，數學是研究量的，把“數”字去掉，他說有“數”呢，就顯得太死了，數就是整數、分數。那麽(me) 什麽(me) 叫量呢?所謂量是一個(ge) 哲學概念。現在有人說數學研究的是秩序，也就是說研究數學的目的是為(wei) 了給世界以秩序，這種說法不是數學語言。想想也有點道理，但是也說不太清楚。從(cong) 這裏可以看出一條，因為(wei) 數學的研究對象是抽象的，數學與(yu) 其他的自然科學和社會(hui) 科學不一樣，這些學科有非常具體(ti) 的對象，而數學沒有。數學之所以既能用到自然科學，又能用到社會(hui) 科學，甚至人文科學，就是因為(wei) 它是抽象的。數學研究對象的抽象性首先有一條，就是能夠訓練人們(men) 一種思維方法——抽象思維方法。數學裏即使從(cong) 自然數開始，就已經是非常抽象的概念了，要經過很多層抽象才能夠得出數的概念。所以，曆史上經過了很長的時間，多數和單數才被人們(men) 區分開來。隻要研究了數學發展史，就會(hui) 發現，數的概念的形成是很不容易的。所以，學數學可以訓練人的抽象思維能力。

抽象這種思想方法為(wei) 什麽(me) 這麽(me) 重要呢?因為(wei) 人們(men) 要把握住事物的本質，就必須去掉很多不重要的東(dong) 西，要舍棄很多非本質的東(dong) 西，就必須通過抽象的思維方式解決(jue) 。抽象的思想方法對於(yu) 研究科學，甚至處理日常生活出現的問題都是重要的。如果沒有抽象的能力，就不容易分清究竟現在要解決(jue) 的是什麽(me) 問題。這是數學突出的特點，即它的抽象性。數學的抽象性使得數學可以廣泛地應用於(yu) 很多方麵，即使是完全不同的方麵。

第二個(ge) 特點，因為(wei) 數學的抽象性，所以對數學對象的定義(yi) 必須講得非常清楚。而其他學科對定義(yi) 的要求就不太一樣，一般可以大概描述一下那是個(ge) 什麽(me) 東(dong) 西，聽的人就能夠明白。可是數學因為(wei) 它的對象抽象，描述是不行的，必須有嚴(yan) 格的定義(yi) 。數學裏定義(yi) 非常重要，這一點大家都能體(ti) 會(hui) 到。我在教學中就發現，其他係的老師到數學係講課，往往遇到一個(ge) 很大的困難。因為(wei) 經過一段數學學習(xi) ，學生什麽(me) 都問定義(yi) ，比如物理係的教師來講課，他講到“力”，學生就要求給“力”下定義(yi) ，這非常困難。老師很難用幾句話把“力”刻畫清楚。不像數學裏講“圓”，就是從(cong) 一點等距離的軌跡，說得很清楚。

化學裏很多東(dong) 西也都可以通過描述大家就能懂，並且很清楚，不需要下定義(yi) 。數學為(wei) 什麽(me) 對定義(yi) 有這麽(me) 嚴(yan) 格的要求？就因為(wei) 它的對象抽象，如果不通過定義(yi) 把它界定清楚，就沒法討論。所以，數學裏要求對概念的描述非常準確。我經常開玩笑說，學數學的人是非常笨的，他聽的東(dong) 西，隻要那個(ge) 定義(yi) 沒說清楚，他就聽不懂。在這個(ge) 意義(yi) 上說，有它的好處，也有它的壞處。壞處就是，什麽(me) 都要問定義(yi) ，也會(hui) 有問題，並不是所有的東(dong) 西都可以下定義(yi) 。所以，數學的第二個(ge) 特點就是它要求對概念非常準確地刻畫。

數學的第三個(ge) 特點是它的邏輯的嚴(yan) 格性。因為(wei) 它是抽象的，所以它的展開隻能靠邏輯，這一點對人們(men) 說來也是非常重要的訓練， 這可以從(cong) 平麵幾何來理解。學了平麵幾何究竟起什麽(me) 作用?年輕的時候，也就是念了大學的數學以後，我就宣稱平麵幾何沒有用。20世紀50年代，我參加過中學數學的教學改革，我經常說平麵幾何應該取消。當過幾年教員以後，我就發現學過平麵幾何與(yu) 沒有學過平麵幾何的學生有一點不一樣，就是如果要證明一個(ge) 問題，學過平麵幾何的學生很容易接受，沒有學過平麵幾何的學生接受就比較困難。“文革”期間的學生，如果講證明三角形三個(ge) 角之和等於(yu) 180度，他們(men) 很多人就會(hui) 提出來，這麽(me) 簡單的問題還需要證明嗎？拿量角器量一下不就行了， 搞得我們(men) 的教員啼笑皆非。這就說明，邏輯思維的能力是需要通過一些具體(ti) 的東(dong) 西來培養(yang) 的，平麵幾何就是培養(yang) 人們(men) 邏輯思維能力的很好的媒介。

數學課有這麽(me) 三個(ge) 特點。通過學習(xi) 數學，能夠獲得很好的思維習(xi) 慣和思維方法，在無形中會(hui) 對人們(men) 起作用。數學與(yu) 其他學科的關(guan) 係不光是互相促進，重要的一點是，數學給人的不隻是知識，而且是思維方法，數學實際上是文化的一部分。數學是理性和思維的典型，數學的上述三個(ge) 特點都是關(guan) 於(yu) 理性思維的。

數學還是文化的一部分。在中國的傳(chuan) 統文化裏， 理性思維是不太受重視的。有人舉(ju) 例說，文藝複興(xing) 以後，西方很多哲學家都喜歡搞哲學體(ti) 係，這是他們(men) 的習(xi) 慣。這個(ge) 習(xi) 慣好還是不好，另當別論。中國就很不相同，中國很重要的典籍《論語》是語錄體(ti) 。裏邊很多話是警句，把要點指出來，並沒有論述，也不需要論述，你一聽就有所體(ti) 會(hui) 。這就反映了中國的思維習(xi) 慣。中國傳(chuan) 統的數學書(shu) 有個(ge) 特點，就是裏麵都是例子。比如數學裏很重要的理論孫子剩餘(yu) 定理，在中國數學書(shu) 裏孫子剩餘(yu) 定理就是告訴你三三數之餘(yu) 幾，五五數之餘(yu) 幾，七七數之餘(yu) 幾，它編了個(ge) 口訣，根據這個(ge) 口訣一算，結果就出來了。它既沒有證明，也沒有形成一個(ge) 體(ti) 係，這是中國數學的一個(ge) 特點，也是中國文化的一個(ge) 特點。

數學是文化的一部分，數學中體(ti) 現的是一種思維的模式，數學學習(xi) 也是訓練人的邏輯思維能力的一種重要方式。過去我們(men) 在教學改革中曾經提出，通過上邏輯課直接獲得邏輯思維能力，在中學還專(zhuan) 門開了形式邏輯課，但最後證明效果很差。關(guan) 於(yu) 邏輯思維的一些規律講了半天學生也聽不懂，更不會(hui) 用。後來才承認人的邏輯思維能力是不能通過上邏輯課來培養(yang) 的。平麵幾何最大的好處，是它的內(nei) 容非常直觀，通過平麵幾何這個(ge) 載體(ti) 可以有效地培養(yang) 人的邏輯思維能力。數學理論邏輯非常嚴(yan) 密，人們(men) 無法把邏輯從(cong) 具體(ti) 內(nei) 容中抽出來單獨講，這樣誰也聽不懂，也學不會(hui) 。通過數學的學習(xi) ，邏輯思維的能力慢慢就提高了。數學是文化的一部分，通過數學的學習(xi) ，可以培養(yang) 人的能力，也可以提高人的素質。

數學知識可以分兩(liang) 種，一種是比較基礎的，一定要學通；還有一種屬於(yu) 提高的， 這些等到要用的時候再學還來得及。比如十幾年前，大家都感到計算機的用途前景廣闊，於(yu) 是就學習(xi) 計算機語言。計算機語言要學一點，但是後來的經驗是，語言學多了也沒有用。語言有個(ge) 特點，學了不用很快就會(hui) 忘記。還有一點就是計算機技術發展很快，計算機與(yu) 人的關(guan) 係越來越近，學起來也很容易。

概括起來說，數學不隻是知識，它同時培養(yang) 人的能力，提高人的素質。素質說起來就虛一點。有的同誌經常說數學是美的享受，這話我就不大懂。你說數學很美，有些時候你是可以說它非常美，但我就不大體(ti) 會(hui) 這個(ge) 美的享受對我有多大作用。數學是美的享受，這話可以說，但不能過分誇大。不管怎麽(me) 說，數學是一門很特殊的科學，它能給人一種無形中的影響。

記住一位數學家講過這樣一句話：今天數學教育的質量，決(jue) 定著我們(men) 明天科學人才的水平。(責任編輯：徐雁)

*文章來源：《安徽科技》2002年第10期