中國科學院院士方複全簡介

基本信息

姓名：方複全

籍貫：安徽桐城

出生年月：1964年10月

畢業(ye) 院校：吉林大學博士

研究領域：幾何拓撲學

職務榮譽：

首都師範大學特聘教授，教育部長江學者特聘教授，“幾何分析”教育部創新團隊負責人入選新世紀百千萬(wan) 人才工程國家級人選、國家首批“百千萬(wan) 人才工程”領軍(jun) 人才，被2014年國際數學家大會(hui) 邀請做45分鍾報告。先後獲得“香港求是科技基金會(hui) ”傑出青年學者獎、國家傑出青年科學基金、天津市自然科學獎一等獎。

學術成就：

主要從(cong) 事幾何與(yu) 拓撲學的研究，在“低維拓撲”、“黎曼幾何”、“幾何分析”等領域已取得了多項在國際上有重要影響的研究成果，在Invent. Math., Topology, Duke Math. J., Amer. J. Math., Math. Ann. 等國際知名期刊上發表論文多篇。他在幾何拓撲方麵的多項成果在國際上產(chan) 生了重要影響，被分別寫(xie) 入美國數學會(hui) 研究生教材、牛津大學研究生教材、法國科學院院士Berger的曆史性報告《二十世紀後半葉的黎曼幾何》、Gromov的專(zhuan) 著等重要文獻。方複全教授發展了新的數學方法，解決(jue) 了國際上有重要影響的數學難題“4維微分流形到7維歐氏空間的微分嵌入問題”；他與(yu) 人合作證明了“正曲率黎曼流形的π2有限性定理”，該成果在著名數學家Cheeger主編的“微分幾何綜述”中被列為(wei) 19世紀以來正曲率流形幾何方麵的九個(ge) 拓撲結構定理之一；在4維流形，他與(yu) 其學生合作首先給出了Ricci流非奇解存在的拓撲障礙，該結果受到同行的高度評價(jia) ，並激發了他人的一係列後續研究工作。

學術成就

方複全教授主要從(cong) 事拓撲學的研究。在幾何與(yu) 拓撲的交叉領域，特別是曲率與(yu) 拓撲、4維流形等核心方向做出了多項有重要國際影響的科研成果。他應邀在第27屆國際數學家大會(hui) 上（2014）做45分鍾特邀報告，並獨立獲得國家自然科學二等獎。

方複全教授先後在頂尖數學雜誌Acta Math., Invent. Math以及Duke Math. J, GAFA, Topology等權威數學雜誌上發表論文四十多篇。有關(guan) 成果被法國科學院院士、沃爾夫獎、阿貝爾獎得主Gromov的名著引用，被法國科學院通訊院士Berger寫(xie) 入綜述報告《二十世紀後半葉的黎曼幾何》，也是合作者在2002年國際數學家大會(hui) 上45分鍾報告的主要內(nei) 容之一。主要代表性成果有：

一、 曲率與拓撲

 1.正曲率流形

這是黎曼幾何中核心課題之一。1981年，哈密爾頓發明Ricci流證明：三維正曲率流形同胚於(yu) 球空間型。在4維及以上，人們(men) 對其拓撲型理解甚少，分類更無從(cong) 談起。

1969年，美國科學院院士Cheeger的成名作, Cheeger有限性定理表明:偶數維、正曲率一致夾的（pinched）流形最多隻有有限多個(ge) 微分同胚型。但在奇數維則完全不同；甚至存在無限多個(ge) 拓撲兩(liang) 兩(liang) 不同、單連通、正曲率一致夾的7維流形，其第二同倫(lun) 群π2=Z.

方複全-戎小春合作，得到了上述有限性定理的奇數維版本*，證明了“奇數維、正曲率一致夾、π2有限的單連通流形最多隻有有限多個(ge) 微分同胚型”以及“π2有限、正曲率一致夾流形的非坍塌定理”，從(cong) 而部分解決(jue) 了著名的克林根伯格-Sakai的猜想、部分回答了丘成桐公開問題集中的問題11和13。

在美國科學院院士Cheeger主編的《微分幾何綜述》中，將這一定理總結為(wei) 自19世紀以來正曲率流形的九個(ge) 主要結構定理之一。著名幾何學家Grove撰寫(xie) 的、Gromov名著的書(shu) 評中評述其為(wei) “Cheeger定理的remarkable analogue”並著重轉述了定理內(nei) 容(發表於(yu) 美國數學會(hui) 公報上)。日本科學院院士Fukaya發表於(yu) 《幾何手冊(ce) 》的綜述報告將其列為(wei) 第十三節的兩(liang) 個(ge) 開篇定理。

 2.曲率有界、直徑有界流形

Gromov的一個(ge) 基本定理斷言：在任何維數，曲率有界、直徑有界的黎曼流形的貝蒂數之和一致有界。1990年，Grove提出一個(ge) 公開問題：是否上述流形的上同調環同構類個(ge) 數也一致有界？應用有理同倫(lun) 論方法，方複全-戎小春給出了該問題的第一個(ge) 反例。

該成果激發了包括國際數學家大會(hui) 特邀報告人Totaro、瑞士數學會(hui) 理事長Dessai等知名專(zhuan) 家的後續工作，被歐美數學家寫(xie) 入牛津大學研究生教材，作為(wei) 其中第六章的主題之一，小節標題為(wei) 方-戎方法，約七頁篇幅重述這一工作，還被他人列為(wei) 德國著名黑森林研究所學術會(hui) 議專(zhuan) 題討論。

 3.曲率與(yu) 對稱性

獨立或與(yu) 人合作，方在這一課題的成果分別被獲得美國數學會(hui) Steele獎的Lazarsfeld名著、牛津數學專(zhuan) 著“Sasakian幾何”引用，兩(liang) 個(ge) 定理被後者全文轉載，其中之一被稱為(wei) “相當有趣和顯然rather deep”。韓國數學家Kim在一篇論文的引言中指出“近來…出色進展主要歸功於(yu) ...Fang...”。最近，方複全教授與(yu) 人合作，在Acta Math.發表了一篇53頁的論文，在正曲率Polar流形分類方麵取得重要突破，並因此獲邀在2014年國際數學家大會(hui) 上做45分鍾報告。

 4.幾乎平坦流形

幾何大家Gromov引入了幾乎平坦流形這一重要幾何對象。丘成桐微分幾何公開問題集第十個(ge) 問題：“是否幾乎平坦流形的斯蒂夫-惠特尼數為(wei) 零”？1998年，張偉(wei) 平院士向方複全教授指出了這一問題。經過十幾年的努力，方複全與(yu) 人合作，在一類情形解決(jue) 了這個(ge) 問題，論文發表於(yu) 權威雜誌Journal of Differential Geometry，審稿報告評價(jia) “這是該拓撲問題三十年來最重要的（the most important）結果”。

二、4維流形

4維流形（時空）是拓撲中基本的研究對象，它與(yu) 其他維數拓撲有巨大差異，許多基本的拓撲工具在4維失效。

 1.在7維歐氏空間R7中的嵌入問題

光滑情形：1963年，吳文俊和Haefliger-Hirsch獨立解決(jue) 了n維（n>4）光滑流形到R2n-1的光滑嵌入問題。1970年，Boechat-Haefliger證明：定向光滑4流形M可嵌入到R7與(yu) 其相交型I(M)有關(guan) ，但其證明相當複雜。同年，嵌入理論的領軍(jun) 人物Haefliger在國際拓撲會(hui) 議上公開提出：“是否w3(M)=0、不可定向的4維光滑流形可光滑嵌入到R7”。在發表於(yu) 1994年權威雜誌Topology的論文中，方複全完全解決(jue) 了Haefliger公開問題，還給出Boechat-Haefliger定理極為(wei) 簡單的新證明。並首次指出，由菲爾茲(zi) 獎得主唐納森的代表作和Boechat-Haefliger定理可以看出：“任何定向光滑4維流形可光滑嵌入到R7”。著名拓撲學家薑伯駒院士在推薦書(shu) 中稱該工作“為(wei) Haefliger-Hirsch、吳文俊等人工作後遺留30多年未決(jue) 的重要問題畫上句號”。在德國Hausdorff研究所創始所長、Oberwolfach研究所前所長、著名拓撲學家Kreck等人文章中明確肯定了方複全對四維定向以及非定向光滑流形嵌入問題最終解決(jue) 的貢獻。

非光滑情形：1995年，美國科學院院士Kirby在其著名的低維拓撲問題集（更新版）中指出：4維拓撲流形情況尚未解決(jue) 。基於(yu) 方複全的上述工作，2002年，方複全在Topology再次撰文，肯定地解決(jue) 了Kirby的問題。

此外,方還研究了3流形到某些4維流形中的嵌入問題，發現了它與(yu) 4流形上怪異微分結構之間的聯係，成果被寫(xie) 入Gompf等人寫(xie) 入美國數學會(hui) 研究生教材。

 2. Seiberg-Witten理論

物理學家Seiberg-Witten從(cong) 物理上引進的Seiberg-Witten理論為(wei) 四

維拓撲提供了強大的武器。通過發展Seiberg-Witten理論的K-理論解釋，方複全證明了Seiberg-Witten不變量的模p消滅定理，被他人的多篇後續文章中完整重述為(wei) 其中的定理，並作為(wei) 必備的工具。被Furuta在國際數學家大會(hui) 45分鍾報告中引用。

 3. Ricci流與(yu) 4維拓撲

基於(yu) Ricci流，佩爾曼證明了3維龐加萊猜想。一個(ge) 自然的問題是：可否用Ricci流研究4維拓撲？與(yu) 學生合作，方複全首次發現很多4維流形上Ricci流不存在任何非奇異解，證明了“若4維流形M上Ricci流非奇解存在，則M的歐拉示性數χ(M)≥0”。更進一步，若M的Yamabe不變量非正，則χ(M)≥3/2|τ(M)|,其中τ(M)為(wei) M的符號差，拓展了Hitchin（邵逸夫獎得主）關(guan) 於(yu) 愛因斯坦流形的著名不等式。在日本數學家Ishida等人的論文中，該不等式以及其中的猜想都被稱命名為(wei) FZZ不等式和FZZ猜想，並作為(wei) 節標題。

三、完全交的拓撲

沃爾夫獎得主Sullivan猜想：完全交的拓撲由其歐拉數、龐氏數以及全次數決(jue) 定（也是科技部組織編寫(xie) 的1萬(wan) 個(ge) 科學難題之一）。方複全與(yu) 人合作，在四維拓撲情形完全解決(jue) 了該猜想。在一般情形，方複全完全解決(jue) 了完全交同倫(lun) 型的Libgober-Wood猜想。

*：類似結果由Petrunin-Tuschmann獨立獲得，論文發表於(yu) GAFA同一期。Petrunin也獲邀在2002年的國際數學家大會(hui) 做45分鍾報告，重點介紹這一成果。